Главная страница » Статьи » Магические квадраты Кхаджурахо, Дюрера и Золотая Пропорция
На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр этого и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Введение

На основе теоретического анализа квадратов Кхаджурахо, Дюрера и подобных им квадратов 4×4 выявлены особенности их «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.

Магический квадрат – квадратная таблица n×n, заполненная n2различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самый ранний уникальный магический квадрат 4×4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве (1514г.). Сумма чисел квадрата Дюрера на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Рисунок 1 – Магические квадраты: слева – гравюра А. Дюрера «Меланхолия»; справа вверху – квадрат Дюрера; справа внизу – квадрат Кхаджурахо
Рисунок 1 – Магические квадраты: слева – гравюра А. Дюрера «Меланхолия»; справа вверху – квадрат Дюрера; справа внизу – квадрат Кхаджурахо

Существует 48 пандиагональных квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).

Рисунок 2 – Магические квадраты. Три варианта квадратов (правый универсальный)
Рисунок 2 – Магические квадраты. Три варианта квадратов (правый универсальный)

Основная часть

Мною проанализирована «структура» пандиагональных квадратов 4×4 и выявлены инвариантные части их строения (рисунок 3). Инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Различные варианты симметричного комбинирования этих числовых пар образуют множество пандиагональных квадратов 4×4.

Рисунок 3 – Магические квадраты: а, б, в – основные варианты квадратов 4×4; г – квадрат Кхаджурахо; д – квадрат Дюрера
Рисунок 3 – Магические квадраты: а, б, в – основные варианты квадратов 4×4; г – квадрат Кхаджурахо; д – квадрат Дюрера

Квадрат Дюрера (и ему подобные пандиагональные квадраты 4×4) обладают симметрией золотой пропорции. Например, на рисунке 4 показано красными и синими квадратами варианты симметрий, при которых среднее арифметическое значение от суммы красных составляющих квадратов в возможных позициях (4 или 2, при вращении в разные стороны) равно 51. Таким образом, сумма всех чисел квадрата – 136, из которых 85 – синие, 51 – красные. 136/85=1,6; 85/51=1,667.

Рисунок 4 – Магические квадраты. Варианты симметрий на основе квадрата Дюрера
Рисунок 4 – Магические квадраты. Варианты симметрий на основе квадрата Дюрера

На основе квадрата Дюрера нами построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами симметрии пандиагональных квадратов 4×4 (рисунок 5). Подобное «преобразование» стало возможным при расположении вертикальных столбцов чисел квадрата Дюрера под определенным углом, образуя, таким образом, куб в кубе. При этом свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов построенной фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Рисунок 5 – Геометрическая фигура «куб в кубе»
Рисунок 5 – Геометрическая фигура «куб в кубе»

Заключение

  1. На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.
  2. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр квадрата Дюрера и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51.
  3. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Enjoybook

Ворон Андрей Васильевич

Кандидат педагогических наук. Старший преподаватель кафедры легкой атлетики Белорусского государственного университета физической культуры.

Все работы

Добавить комментарий

Такой e-mail уже зарегистрирован. Воспользуйтесь формой входа или введите другой.

Вы ввели некорректные логин или пароль

Sorry that something went wrong, repeat again!
Аватар
1
Андрей

Комментарий добавлять ненадо,просто пришлите на почту. Огромное спасибо.

Аватар
2
Андрей

Что скажите по этому квадрату?

11 5 14 4

2 16 7 9

8 10 1 15

13 3 12 6

Очень жду вашего ответа! Это жизненно необходимо.

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: