Главная страница » Статьи » Магические квадраты Кхаджурахо, Дюрера и Золотая Пропорция
На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр этого и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Введение

На основе теоретического анализа квадратов Кхаджурахо, Дюрера и подобных им квадратов 4×4 выявлены особенности их «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.

Магический квадрат – квадратная таблица n×n, заполненная n2различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самый ранний уникальный магический квадрат 4×4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве (1514г.). Сумма чисел квадрата Дюрера на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Рисунок 1 – Магические квадраты: слева – гравюра А. Дюрера «Меланхолия»; справа вверху – квадрат Дюрера; справа внизу – квадрат Кхаджурахо
Рисунок 1 – Магические квадраты: слева – гравюра А. Дюрера «Меланхолия»; справа вверху – квадрат Дюрера; справа внизу – квадрат Кхаджурахо

Существует 48 пандиагональных квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).

Рисунок 2 – Магические квадраты. Три варианта квадратов (правый универсальный)
Рисунок 2 – Магические квадраты. Три варианта квадратов (правый универсальный)

Основная часть

Мною проанализирована «структура» пандиагональных квадратов 4×4 и выявлены инвариантные части их строения (рисунок 3). Инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Различные варианты симметричного комбинирования этих числовых пар образуют множество пандиагональных квадратов 4×4.

Рисунок 3 – Магические квадраты: а, б, в – основные варианты квадратов 4×4; г – квадрат Кхаджурахо; д – квадрат Дюрера
Рисунок 3 – Магические квадраты: а, б, в – основные варианты квадратов 4×4; г – квадрат Кхаджурахо; д – квадрат Дюрера

Квадрат Дюрера (и ему подобные пандиагональные квадраты 4×4) обладают симметрией золотой пропорции. Например, на рисунке 4 показано красными и синими квадратами варианты симметрий, при которых среднее арифметическое значение от суммы красных составляющих квадратов в возможных позициях (4 или 2, при вращении в разные стороны) равно 51. Таким образом, сумма всех чисел квадрата – 136, из которых 85 – синие, 51 – красные. 136/85=1,6; 85/51=1,667.

Рисунок 4 – Магические квадраты. Варианты симметрий на основе квадрата Дюрера
Рисунок 4 – Магические квадраты. Варианты симметрий на основе квадрата Дюрера

На основе квадрата Дюрера нами построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами симметрии пандиагональных квадратов 4×4 (рисунок 5). Подобное «преобразование» стало возможным при расположении вертикальных столбцов чисел квадрата Дюрера под определенным углом, образуя, таким образом, куб в кубе. При этом свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов построенной фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Рисунок 5 – Геометрическая фигура «куб в кубе»
Рисунок 5 – Геометрическая фигура «куб в кубе»

Заключение

  1. На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.
  2. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр квадрата Дюрера и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51.
  3. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Ворон Андрей Васильевич

Кандидат педагогических наук. Старший преподаватель кафедры легкой атлетики Белорусского государственного университета физической культуры.

Все работы

Добавить комментарий

Такой e-mail уже зарегистрирован. Воспользуйтесь формой входа или введите другой.

Вы ввели некорректные логин или пароль

Sorry that something went wrong, repeat again!

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: